7 Merkmale

Definition: Merkmal, Merkmalsträger und Ausprägung

Objekte, an denen statistische Größen gemessen werden, nennt man Merkmalsträger (oder statistische Einheit). Die statistischen Größen nennt man Merkmale. Den Wert, den ein Merkmal bei einem Merkmalsträger annimmt nennt man die Ausprägung (oder die Merkmalsausprägung).

Beispiele

Das Gewicht von Studierenden in einem Hörsaal soll untersucht werden. Tabelle 7.1 enthält diese Daten. Die Studierenden sind der Merkmalsträger (eine Zeile), das Gewicht ist das Merkmal (Spalte) und die Ausprägung des Merkmals Gewicht sind z.B. 73 kg.
Die Leistung der Autos eines bestimmten Herstellers sollen verglichen werden. Die verschiedenen Autos sind die Merkmalsträger, die Leistung ist das Merkmal und z.B. 102 kW ist eine Ausprägung des Merkmals.

Tabelle 7.1: Beispiel einer Datentabelle. Die Merkmale stehen in den Spalten.

Nr	Geschlecht	Groesse	Gewicht	Note
1	männlich	170	73	gut
2	männlich	176	69	befriedigend
3	männlich	185	80	sehr gut
4	männlich	181	76	sehr gut
5	weiblich	169	56	gut
6	weiblich	158	55	sehr gut
7	männlich	176	87	mangelhaft

7.1 Grundgesamtheit, Teilgesamtheit und Stichprobe

Definition: Grundgesamtheit und Stichprobe

Die Menge aller Merkmalsträger nennt man die Grundgesamtheit. Eine Teilmenge der Grundgesamtheit heißt Teilgesamtheit. Eine Auswahl der Merkmalsträger aus der Grundgesamtheit, die untersucht wird, nennt man Stichprobe.

Beispiele

Soll das Gewicht nicht nur aller Studierenden in einem Hörsaal sondern aller in Deutschland lebenden Menschen untersucht werden, so ist die Menge aller in Deutschland lebenden Menschen die Grundgesamtheit, die Studierenden in einem Hörsaal bilden eine Stichprobe.
Bei einer Bundestagswahl ist die Menge aller Wähler die Grundgesamtheit. Werden vor den Wahllokalen einige Menschen befragt wie sie gewählt haben, so ist dies eine Stichprobe.

Bemerkungen zu Stichproben:

Offenbar ist die Menge der Studierenden in einem Hörsaal keine gute Stichprobe um eine Aussage über das Gewicht aller in Deutschland lebenden Menschen zu machen. (alle ähnlich alt, ähnliche soziale Schicht, etc.)
Es ist ein Teil der induktiven Statistik, geeignete Stichproben zu nehmen, die Rückschlüsse auf die Grundgesamtheit bzw. die untersuchte Teilgesamtheit zulassen (Repräsentativität). Wirklich repräsentative Umfragen zu machen ist im Allgmeinen schwierig und teuer.

Sampling Bias von Sketchplanations

Selection Bias von xkcd

7.2 Skalenniveaus

Die Skalenniveaus der Merkmale legt fest, wie man Merkmale behandelt, das heißt was man mit den Merkmalen machen darf und was nicht. Außerdem legt das Skalenniveau fest wie wir die Merkmale darstellen. Grob unterteilt gibt es zwei verschiedene Skalenniveaus, die kategorialen und die metrischen Merkmale. Man unterscheidet die kategorial skalierten Merkmale nochmal in nominale bzw. ordinale Merkmale. Die metrische skalierten Merkmale in intervallskaliert, verhältnisskaliert oder absolut skaliert.

Kategoriale Skalenniveaus

Nominalskala:

Bei einer Nominalskala können die Ausprägungen ausschließlich unterschieden werden. (z.B. Geschlecht oder Automarke).
Zahlen haben nur Bezeichnungsfunktion (z.B. Barcodes, Postleitzahlen, Seriennummern oder Kodierungen wie 0: männlich, 1: weibliche, etc.)

Ordinalskala oder Rangskala:

Bei einer Ordinalskala (oder auch Rangskala) können die Merkmale unterschieden und in eine sinnvolle Reihenfolge gebracht werden (z.B. Ränge bei der Armee, eine Likert-Skala oder Noten in einer Klausur)
Differenzen oder Quotienten sind nicht interpretierbar und Additionen sind unzulässig.

Metrische Skalenniveaus

Kardinalskala oder metrische Skala:

Bei einer Kardinalskala (oder auch metrischen Skala) kann nicht nur eine Reihenfolge hergestellt werden, ferner ist auch ein Abstand zwischen den Ausprägungen sinnvoll (z.B. Körpergröße, Gewinne, Alter, Punkte in einer Klausur)
Kardinalskalen können noch feiner unterteilt werden:
- Intervallskala: Hier können Differenzen gebildet werden, aber keine Quotienten. Ein Beispiel wäre die Temperatur in Grad Celsius.
- Verhältnisskala: Diese ist wie die Intervallskala, es gibt zusätzlich aber einen natürlichen Nullpunkt. Damit können nicht nur Differenzen, sondern auch Quotienten sinnvoll gebildet werden. Beispiele hierfür sind das Barvermögen, die Körpergröße, das Alter oder die Temperatur in Kelvin.
- Absolutskala: Diese ist wie die Verhältnisskala, allerdings gibt es zuätzlich noch eine natürliche Einheit in der gemessen wird. Beispiele hierfür sind Anzahlen (z.B. Einwohner eines Landes, Besucher bei einer Sportveranstaltung, Anzahl Studierender einer Hochschule).

Tabelle 7.2: Skalenniveaus Übersicht

Skalenniveau	Auszählen	Ordnen	Differenzen bilden	Quotienten bilden
Nominalskala	ja	nein	nein	nein
Ordinalskala	ja	ja	nein	nein
Intervallskala	ja	ja	ja	nein
Verhältnisskala	ja	ja	ja	ja
Absolutskala	ja	ja	ja	ja

7.3 Diskrete und stetige Merkmale

Eine simple Unterteilung der Merkmale orientiert sich an den möglichen Ausprägungen, die ein Merkmal haben kann.

Definition: Diskretes und stetiges Merkmal

Ein Merkmal, das nur endlich viele verschiedene Ausprägungen annehmen kann, nennt man diskret. Kann ein Merkmal jeden beliebigen Wert in einem Intervall als Ausprägung annehmen, so heißt das Merkmal stetig. Merkmale, die sich nur diskret messen lassen, aber aufgrund einer sehr feinen Abstufung wie stetige Merkmale behandelt werden, nennt man quasi-stetig.

Beispiele:

Abzählbare Merkmale sind immer diskret. Dabei darf es sogar abzählbar unendlich viele verschiedene Ausprägungen geben:
- die Anzahl der Würfe bis man mit zwei sechsseitigen Würfeln einen Sechserpasch würfelt, oder
- die Anzahl der abgegebenen Tipps bis man beim Lotto 6 Richtige hat.
Das Vermögen ist quasi-stetig, da es nur bis auf einen Cent genau angegeben werden kann.
Die Rendite einer Aktie ist hingegen stetig, da man sie theoretisch auf beliebig viele Stellen hinter dem Komma berechnen kann.

Bemerkung:

Quasi-stetige Merkmale werden in der Regel wie stetige Merkmale behandelt.

7.4 Klassieren von Daten

Bei stetigen oder auch quasi-stetigen Daten ist es oft sinnvoll diese zu Klassen zusammenzufassen und damit wie ein diskretes Merkmal aussehen zu lassen. Beispiele hierfür sind Einkommen, Mieten, Noten bei Klausuren oder Altersklassen beim Sport.

Einkommen	Frauen	Männer	Alle
Kein Einkommen	10.6	5.1	7.9
(0; 500) Euro	10.5	4.5	7.5
[500; 1000) Euro	22.4	10.6	16.6
[1000; 1500) Euro	23.5	16.4	20.0
[1500; 2000) Euro	14.9	18.5	16.6
[2000; 2500) Euro	9.2	17.0	13.0
[2500; 3000) Euro	3.9	8.4	6.1
[3000; 3500) Euro	1.8	5.7	3.7
[3500; 4000) Euro	1.2	4.0	2.6
[4000; 4500) Euro	0.8	3.2	2.0
[4500; 5000) Euro	0.5	2.2	1.4
Über 5000 Euro	0.6	4.4	2.5

Abbildung 7.1: Umfrage in Deutschland zum Einkommen von Frauen und Männern 2021, (Quelle: Statista).

Außerdem können Darstellungen übersichtlicher werden: Bei der oberen Erhebung zum Einkommen wurden zum Beispiel insgesamt 23.299 Leute befragt. Diese werden nicht alle einzeln aufgeführt, sondern müssen, um sie tabellarisch darstellen zu können, klassiert werden. Durch die Klassierung oben erreicht man auch, dass die Ausreißer, also Menschen, die sehr sehr viel mehr als 5000 Euro verdienen auch sinnvoll in einer Grafik abgebildet werden können. Dies wäre bei einem Histogramm, der Alternative zu den Klassen, nicht gegeben.

Ein weiterer praktischer Grund für eine Klassierung könnte sein, dass Beobachtungen, die in eine Klasse fallen auch gleich behandelt werden. So zum Beispiel Altersklassen im Sport, die dazu dienen einen faireren Wettkampf zu ermöglichen.

7.5 Visualisierung

Die Wahl der Grafik hängt von mehreren Faktoren ab:

Wie viele Merkmale sollen in der Grafik dargestellt werden?
Welches Skalenniveau hat das Merkmal / haben die Merkmale, die dargestellt werden sollen?
Welchen Aspekt der Daten möchte ich mit meiner Grafik betonen?

Dieses Kapitel hat zwei Ziele: zum einen werden wir eine Übersicht über wichtige Grafiken geben und zum anderen soll aufgezeigt werden wie man diese Grafiken, in der einfachsten Form, mit dem Paket ggplot2 erstellen kann. Wir werden in Kapitel 13 und Kapitel 14 noch genauer auf das Erstellen der jeweiligen Grafik eingehen und darauf wie diese zu interpretieren ist. Insbesondere wenn statistische Transformationen (zum Beispiel bei Histogramm, Boxplot oder Mosaikplots) durchgeführt werden müssen, ist die Interpretation der Grafiken nicht immer trivial. In den späteren Kapiteln legen wir das Augenmerk insbesondere auf die Syntax, wie man Grafiken ändert (Farbgebung, Anordnungen, verschiedene geometrische Funktion, Ändern der Legende und der Achsen, und so weiter).

Weitere Anregungen zu Grafiken findet man in der R Graph Gallery und eine kompakte Übersicht im ggplot2 Cheat Sheet.

7.5.1 Ein Merkmal: kategorial

Um kategorial skalierte Merkmale (auch qualitative Merkmale genannt) darzustellen verwenden wir Säulen- oder Balkendiagramme. Die geometrische Funktion dafür ist geom_bar().

Bemerkung: In der Regel ist die Anzahl der Ausprägungen überschaubar. Sollte die Anzahl doch größer sein, bietet das Paket forcats Möglichkeiten das zu beheben.

penguins |> 
  ggplot(aes(x = species)) +
  geom_bar()

penguins |> 
  ggplot(aes(y = species)) +
  geom_bar()

Die Anordnung der Säulen oder Balken erfolgt bei einem nominalen Merkmal alphabetisch. Möchte man eine bessere Lesbarkeit der Daten erreichen, so kann man die Reihenfolge mit Hilfe von Funktionen aus dem Paket forcats (Kapitel 12) ändern. Zum Beispiel wird in Abbildung 8.3 das Merkmal species in absteigender Häufigkeit dargestellt.

penguins |> 
  ggplot(aes(x = fct_infreq(species))) +
  geom_bar()

Abbildung 7.4: Ein sortiertes Säulendiagramm, das man auch Pareto-Diagramm nennt.

Handelt es sich um ein ordinales Merkmal (in R ein ordinaler Faktor, der in Datentabellen mit <ord> gekennzeichnet ist), so ist die Ordnung die natürliche Ordnung in der die Säulen oder Balken angeordnet werden.

Abbildung 7.5: Säulendiagramm: das Merkmal Note ist ordinal und als ordinaler Faktor in der Datentabelle angelegt.

Aufgabe: Säulen- und Balkendiagramme

Erstellen Sie aus der Datentabelle dat.studenten zwei beliebige Säulendiagramme aus kategorialen Merkmalen Ihrer Wahl.
Erstellen Sie aus dem gleichen Datensatz ein Balkendiagramm aus der Wohnform.
Färben Sie das Balkendiagramm aus der letzten Grafik in einer Farbe Ihrer Wahl.

Lösung

# Laden der notwendigen Pakete:
library(pacman)
p_load(DA.students, tidyverse)
dat.studenten

# A tibble: 1,254 × 9
   Alter Groesse Geschlecht AlterV AlterM AnzSchuhe NoteMathe MatheZufr Wohnform
   <dbl>   <dbl> <fct>       <dbl>  <dbl>     <dbl>     <dbl> <fct>     <chr>   
 1    19     168 weiblich       54     50        90       3   geht so   WG      
 2    20     165 weiblich       52     52       100       3   geht so   Eltern  
 3    23     190 männlich       60     53        10      NA   <NA>      WG      
 4    19     178 männlich       51     46        11       4   unzufrie… Eltern  
 5    25     170 weiblich       59     54        25       2.3 zufrieden Eltern  
 6    20     169 weiblich       55     54        30       1.7 sehr zuf… Eltern  
 7    22     175 weiblich       49     56        60       2.7 zufrieden Sonstige
 8    23     177 männlich       55     50        70       2.3 sehr zuf… WG      
 9    21     189 männlich       50     50        10       5   unzufrie… Eltern  
10    21     183 männlich       54     54         6       2.7 zufrieden Eltern  
# ℹ 1,244 more rows

Säulendiagramme sind sinnvoll für nominale bzw. ordinale Merkmale. Als Beispiel könnten wir das Geschlecht und die Zufriedenheit mit der Mathenote wählen:

dat.studenten |> ggplot(aes(x = Wohnform)) + 
                 geom_bar()

dat.studenten |> ggplot(aes(x = MatheZufr)) + 
                 geom_bar()

und 3. Ganz analog erstellen wir ein Balkendiagramm und färben dieses gleich ein.

dat.studenten |> ggplot(aes(y = Wohnform)) + 
                 geom_bar(fill = "steelblue3")

7.5.2 Ein Merkmal: metrisch

Metrische Merkmale (auch quantitative Merkmale genannt) können ein Spektrum von Werten annehmen. Bei metrischen Merkmalen ist es ist sinnvoll Differenzen zu bilden und statistische Größen wie Mittelwerte, zu berechnen.

Histogramm

Die übliche Darstellung eines solchen Merkmals ist das Histogramm. Die geometrische Funktion hierzu ist geom_histogram().

penguins |> 
  ggplot(aes(x = body_mass_g)) +
  geom_histogram(binwidth = 200, 
                 fill = "steelblue3", 
                 color = "grey30")

penguins |> 
  ggplot(aes(x = body_mass_g)) +
  geom_histogram(binwidth = 20, 
                 fill = "steelblue3", 
                 color = "grey30")

Abbildung 7.7: Histogramm, zu kleine Balken

penguins |> 
  ggplot(aes(x = body_mass_g)) +
  geom_histogram(binwidth = 1000, 
                 fill = "steelblue3", 
                 color = "grey30")

Abbildung 7.8: Histogramm, zu große Balken

Bei einem einfachen Histogramm werden gleichbreite Klassen gebildet und die Anzahl der Elemente innerhalb einer Klasse wird auf der y-Achse aufgetragen. Die Breite ist von der Wahl des Arguments binwidth= abhängig. Alternativ kann auch die Anzahl der Balken angegeben werden; dies geschieht mit dem Argument bins=. Gibt man keines der beiden Argumente an, so werden 30 Säulen gebildet, wobei nicht jede Säule unbedingt Einträge haben muss. Welche Wahl sinnvoll ist hängt von der Fragestellung ab: um einen groben Überblick über die Verteilung zu bekommen sollte die Balkenbreite weder zu klein (Abbildung 7.7) noch zu groß (Abbildung 7.8) gewählt werden. Wir werden in Kapitel 14 im Rahmen der explorativen Datenanalyse noch einmal darauf zurückkommen.

Bemerkung:

Histogramme haben im Gegensatz zu den Säulen- und Balkendiagrammen eine kontinuierliche Skala. So kann man selbst, wenn die Ausprägungen der Merkmale nur diskrete Werte annehmen, bei metrischen Merkmalen Mittelwerte oder Quantile bestimmen und ebenfalls sinnvoll in ein Histogramm einzeichnen.

Abbildung 7.9: Histogramm mit Mittelwert

Aufgabe: Histogramme

Erstellen Sie aus der Datentabelle dat.studenten ein Histogramm für das Alter der Studenten.
Welche Auswirkungen haben die Argumente binwidth= bzw. bins= im Histogramm?
Welche Balkenbreite ist für die Grafik geeignet?

Lösung

# Laden der notwendigen Pakete:

library(pacman)
p_load(DA.students, tidyverse)

dat.studenten |> ggplot(aes(x = Alter)) + 
                 geom_histogram()

`stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.

Warning: Removed 5 rows containing non-finite outside the scale range
(`stat_bin()`).

Das Argument binwidth= ändert die Breite der Balken, und bins= ändert die Anzahl der Balken. Es ist nur sinnvoll eines der beiden Argumente anzugeben, da das andere dadurch festgelegt ist.
Da es nicht sehr viele Ausprägungen beim Alter gibt, kann man hier die kleinste sinnvolle wählen, so dass jedes Alter dargestellt wird, also binwidth=1.

dat.studenten |> ggplot(aes(x = Alter)) + 
                 geom_histogram(binwidth=1)

Warning: Removed 5 rows containing non-finite outside the scale range
(`stat_bin()`).

Boxplot

Eine weitere Möglichkeit ein metrisches Merkmal darzustellen ist ein Boxplot. Er liefert einen schnellen Überblick über die Daten.

Die Linie im inneren der Box ist der Median der Daten. Dies heißt 50% der Daten sind kleiner oder gleich des Medians und 50% der Datenpunkte sind gleich oder größer des Medians.
Die Box enhält die mittelren 50% der Daten.
Die Whisker und ggf. Ausreißer geben die kleinsten und größten Werte an.

Die genaue Definition und eine ausführliche Erklärung ist in Kapitel 14.3.1 zu finden.

penguins |> 
  ggplot(aes(x = body_mass_g)) +
  geom_boxplot(fill = "steelblue3", 
               color = "grey30", 
               alpha = 0.3) +
  scale_y_continuous(NULL, breaks = NULL) # keine Beschriftung y-Achse

Häufigkeitspolygon

Häufigkeitspolygone sind eng mit den Histogrammen verbunden. Sie werden so konstruiert, dass die Mitten der oberen Enden der Säulen durch einen Polygonzug mit den direkten Nachbarn verbunden werden. Der große Vorteil dieser Darstellung ist, dass so mehrere Verteilungen gleichzeitig in ein Diagramm gezeichnet werden können. Aufgrund von Überlappungen ist dies bei Histogrammen normalerweise nicht möglich.

penguins |> 
  ggplot(aes(x = body_mass_g)) +
  geom_histogram(binwidth = 300, 
                 fill = "steelblue3", 
                 color = "grey30", 
                 alpha = 0.4) +
  geom_freqpoly(binwidth = 300, 
                color = "indianred3", 
                linewidth = 1.3)

Abbildung 7.11: Histogramm mit Häufigkeitspolygon. Für gewöhlich wird für die Darstellung genau eines Merkmals das Histogramm verwendet. Um die Konstruktion des Häufigkeitspolygons zu verstehen liegt das Histogramm unter.

Dichtediagramm

Eine andere Darstellung eines metrischen Merkmals ist ein Dichtediagramm. Ein Dichtediagramm ist eine geglättete und normierte Version des Histogramms bzw. des Häufigkeitspolygons. Wie diese Glättung genau funtioniert soll hier nicht weiter ausgeführt werden, kann aber im der Hilfe zur geometrischen Funktion geom_density() nachgelesen werden.

penguins |> 
  ggplot(aes(x = body_mass_g)) +
  geom_density(linewidth = 1.2, color ="steelblue3")

Bemerkung

Wie das Dichtediagramm zustandekommt ist nicht ganz einfach und soll hier nicht weiter erläutert werden.

7.5.3 Zwei Merkmale: metrisch / metrisch

Streudiagramm

Das Streudiagramm haben wir in Kapitel 3.2 schon kennengelernt. Die geometrische Funktion ist geom_point().

penguins |>  
   ggplot(aes(x = flipper_length_mm, y = body_mass_g)) + 
   geom_point()

7.5.4 Zwei Merkmale: kategorial / metrisch

Boxplot

Den Boxplot haben wir bereits kennengerlent. Es ist möglich dem Boxplot nicht nur ein metrisches Merkmal zu übergeben, sondern zusätzlich auch ein kategoriales.

Das Ergbnis ist, dass für jede Ausprägung des nominalen Merkmals ein eigener Boxplot erstellt wird. Je nachdem welcher Koordinate man das metrische Merkmal zugeordnet hat entstehen horizontale oder vertikale Boxplots. Die Breite der so erstellten Boxplots hat keine Bedeutung.

penguins |> 
   ggplot(aes(x =  species, y = bill_length_mm)) +
   geom_boxplot()

Violinenplot

Violinenplots sind von der Syntax und der Visualisierung den Boxplots sehr ähnlich. Allerdings liegt das Augenmerk bei den Violinenplots auf der Verteilung der Ausprägungen des metrischen Merkmals.

penguins |> 
   ggplot(aes(x =  species, y = bill_length_mm)) +
   geom_violin()

Die maximale Breite des Violinenplots ist unabhängig von der Anzahl der Beobachtungen. Allerdings hat der Violinenplot auch interessante Argumente

Ändert man scale = "area" auf scale = "count", so wird die Fläche auf die repräsentierte Anzahl skaliert.
Mit dem Argument draw_quantile= können beliebiege Quantile eingezeichnet werden.

penguins |> 
   ggplot(aes(x =  species, y = bill_length_mm)) +
   geom_violin(scale = "count", draw_quantiles = c(0.25, 0.5, 0.75))

Abbildung 7.16: Violinenplot bei dem die Flächen die Anzahl der Beobachtungen repräsentieren und die Quartile (analog zum Boxplot) zu sehen sind.

Häufigkeitspolygon

penguins |> 
   ggplot(aes(x = bill_length_mm, color = species)) +
   geom_freqpoly(bins = 30)

Dichtediagramme

penguins |> 
   ggplot(aes(x = bill_length_mm, color = species)) +
   geom_density()

Es ist zu bemerken, dass die jeweiligen Dichten pro Ausprägung des kategorialen Merkmals genommen werden.

Facettierte Histogramme

penguins |> 
   ggplot(aes(y = bill_length_mm)) +
   geom_histogram() + 
   facet_wrap(~species)

Aufgabe: Facettierte Histogramme

Erstellen Sie aus der Datentabelle dat.studenten ein facettiertes Histogramm bezüglich Alter und der Wohnform.

Lösung

## Laden der nötigen Pakete

library(pacman)
p_load(tidyverse, DA.students)

dat.studenten |> drop_na(Alter) |>        # keine NA-Facette 
                 ggplot(aes(x = Alter)) +
                 geom_histogram(binwidth = 1) + 
                 facet_wrap(~Wohnform)

7.5.5 Zwei Merkmale: kategorial / kategorial

Säulen- oder Balkendiagramme

penguins |> 
   ggplot(aes(x = island, 
              fill = species)) +
   geom_bar()

Abbildung 7.20: Gestapelte Säulenendiagramme

penguins |> 
   ggplot(aes(x = island, 
              fill = species)) +
   geom_bar(position = "dodge")

Abbildung 7.21: Gruppierte Säulendiagramme

Aufgabe: Gruppierte / Gestapelte Säulendiagramme

Erstellen Sie aus dem Datensatz dat.studenten vier verschiedene gruppierte / gestapelte Säulendiagramme bezüglich Wohnform und Geschlecht. Welche Aspekte der Daten werden dabei jeweils herausgehoben?

Lösung

## Laden der nötigen Pakete

library(pacman)
p_load(tidyverse, DA.students)

dat.studenten |> ggplot(aes(x = Wohnform, fill = Geschlecht)) +
            geom_bar()

dat.studenten |> ggplot(aes(x = Wohnform, fill = Geschlecht)) +
            geom_bar(position = "dodge")

dat.studenten |> ggplot(aes(x = Geschlecht, fill = Wohnform)) +
            geom_bar()

dat.studenten |> ggplot(aes(x = Geschlecht, fill = Wohnform)) +
            geom_bar(position = "dodge")

Mosaikdiagramm

Das Mosaikdiagramm (oder Mosaikplot) ist eine weitere Möglichkeit zwei kategoriale Merkmale gleichzeitig zu zeigen. Hierbei repräsentieren Breite bzw. Höhe der Ausprägungen deren relativen Anteil aller Ausprägungen. Die Flächen der entstehenden Rechtecke sind dann der relative Anteil der kombinierten Beobachtungen.

library(ggmosaic)
penguins |> 
   ggplot() + 
   geom_mosaic(aes(x = product(species, island), fill = species))

Der Mosaikplot eignet sich besonders gut umd die (Un-)abhängigkeit verschiedener Merkmalen voneinander sichtbar zu machen.

library(ggmosaic)
diamonds |> 
   ggplot() + 
   geom_mosaic(aes(x = product(cut, color), fill = cut))

Abbildung 7.23: Mosaikplot. Man kann erkennen, dass im Datansatz `diamonds` die Merkmale `cut` und `color` (nahezu) unabhängig voneinander sind, da die horizontalen Trennlinien zwischen den Ausprägungen von `cut` im wesentlichen immer in der gleichen Höhe sind.

In Abbildung 7.23 sind die horizontalen Trennlinien zwischen den Ausprägungen von cut im wesentlichen immer in der gleichen Höhe, was bedeutet, dass relative Anteil innerhalb der Farben in etwa gleich sind. Wohingegen in Abbildung 7.22 der Anteil der jeweiligen Spezies nicht unanhängig von der Insel ist.

Beispiele

7.1 Grundgesamtheit, Teilgesamtheit und Stichprobe

Beispiele

Bemerkungen zu Stichproben:

7.2 Skalenniveaus

Kategoriale Skalenniveaus

Metrische Skalenniveaus

Selbsttest: Skalenniveaus

7.3 Diskrete und stetige Merkmale

Beispiele:

Bemerkung:

7.4 Klassieren von Daten

7.5 Visualisierung

7.5.1 Ein Merkmal: kategorial

7.5.2 Ein Merkmal: metrisch

Histogramm

Boxplot

Häufigkeitspolygon

Dichtediagramm

7.5.3 Zwei Merkmale: metrisch / metrisch

Streudiagramm

7.5.4 Zwei Merkmale: kategorial / metrisch

Boxplot

Violinenplot

Häufigkeitspolygon

Dichtediagramme

Facettierte Histogramme

7.5.5 Zwei Merkmale: kategorial / kategorial

Säulen- oder Balkendiagramme

Mosaikdiagramm