21 Differentialrechnung
In diesem Kapitel wollen wir uns mit der Ableitung von reellwertige Funktionen f: D \to \mathbb{R} (mit D \subseteq \mathbb{R}) beschäftigen.
21.1 Grenzwerte
Unter einem Grenzwert oder Limes einer Funktion an einer Stelle verstehen wir in der Mathematik den Wert, dem sich eine Funktion in der Umgebung dieser Stelle nähert. Die Funktion selbst muss an der Stelle nicht unbedingt definiert sein und selbst \infty oder -\infty können für eine Grenzwertbetrachtung zugelassen sein. Existiert ein endlicher Grenzwert, so nennen wir die Funktion an der Stelle konvergent, ansonsten nennen wir die Funktion an der Stelle divergent.
Im Folgenden wollen wir den Grenzwert mathematisch definieren. Dazu benötigen wir den Begriff des Grenzwertes
Beispiel
Wir wollen uns nun zwei Beispiele anschauen, die sehr ähnlich aussehen, aber sich bezüglich der Grenzwertbetrachtung deutlich unterscheiden. Wir betrachten die Funktion
f(x) = x \sin\left(\frac{1}{x}\right) \quad \text{und} \quad g(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right)
Beide Funktionen haben den gleichen Definitionsbereich D = \mathbb{R} \setminus \{0\}.
Beispiel 1: Der Grenzwert \lim\limits_{x \to 0} f(x)
Behauptung: \lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0.
Idee: Der Sinus oszilliert zwischen -1 und 1, ist also beschränkt und es gilt: \left|\sin\frac{1}{x}\right| \leq 1. Der Faktor x drückt das Ganze daher auf null zusammen. Der Graph der Funktion f liegt zwischen den Geraden y = |x| und y = -|x|.
Schritt 1 (Umformen und Abschätzen): Für alle x \neq 0 gilt
|f(x) - 0| = |x| \cdot \left|\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\right| \leq |x| .
Schritt 2 (Ablesen): Damit |f(x)| < \varepsilon gilt, genügt |x| < \varepsilon. Wir wählen also \delta = \varepsilon.
Schritt 3 (Nachweis): Sei \varepsilon > 0 beliebig und \delta = \varepsilon. Für alle x mit 0 < |x| < \delta gilt
|f(x) - 0| \leq |x| < \delta = \varepsilon .
Beispiel 2: keine stetige Fortsetzung für \lim\limits_{x \to 0} g(x).
Die Funktion g: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R} mit g(x) = \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) hat in 0 keinen Grenzwert.
Beweis (durch Widerspruch): Angenommen, es gäbe einen Grenzwert c. Wähle \varepsilon = \frac{1}{2}. Dann gäbe es ein \delta > 0 mit |g(x) - c| < \frac{1}{2} für alle 0 < |x| < \delta.
In jedem noch so kleinen Intervall (0, \delta) liegen aber Stellen
x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2\pi n} \quad\text{mit } g(x_n) = 1 \qquad\text{und}\qquad y_n = \frac{1}{\frac{3\pi}{2} + 2\pi n} \quad\text{mit } g(y_n) = -1 ,
man muss nur n groß genug wählen. Mit der Dreiecksungleichung folgt
2 = |g(x_n) - g(y_n)| \leq |g(x_n) - c| + |c - g(y_n)| < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 ,
Dies ist ein Widerspruch, so dass es keinen Grenzwert c geben kann.
21.2 Stetigkeit
Anschaulich ist eine Funktion an einer Stelle stetig, wenn ihr Graph keinen Sprung hat. Mit Hilfe des Epsilon-Delta-Kriteriums können wir definieren was Stetigkeit bedeutet.
Bemerkungen
Wir lesen den Ausdruck \lim\limits_{x\to x_0} f(x) als Limes f von x für x gegen x_0 oder Grenzwert der Funktion f von x für x gegen x_0.
und den Ausdruck
\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall x\in I\;:\; |x-x_0| < \delta \quad \implies \quad |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon.
Für alle Epsilon größer als Null gibt es ein Delta, so dass für alle x aus dem Intervall I gilt: ist der Abstand von x und x_0 kleiner als Delta, dann ist der Abstand von f(x) und f(x_0) kleiner als Epsilon.
Abbildung 21.3 visualisiert die obige Definitionen der stetigkeit. Im linken Bild können wir ein beliebig kleines \varepsilon >0 vorgeben und finden immer ein \delta > 0, so dass die Funktionwerte für alle Werte x aus dem Intervall [x_0 - \delta, x_0 + \delta] innerhalb des entstehenden Rechtecks liegen. Im rechten Bild ist das nicht der Fall.
Beispiele für stetige Funktionen:
- Polynome p: \mathbb{R} \to \mathbb{R} sind stetige Funktionen.
- Potenzfunktionen x^\alpha
- Rationale Funktionen q(x) = \frac{p_1(x)}{p_2(x)} sind auf ihrem Definitionsbereich D = \mathbb{R} \backslash \{x\,|\,p_2(x) =0 \} stetig,
- die Exponentialfunktion \exp: x \mapsto \exp(x) = \textsf{e}^x ist eine stetige Funktion,
- jede Exponentialfunktion a^x = \textsf{e}^{\ln(a) \cdot x}, a \in \mathbb{R}_{+} \backslash \{1\} ist stetige Funktion
- der natürliche Logarithmus \ln: \mathbb{R}_{+} \to \mathbb{R} ist eine stetige Funktion
- jeder Logarithmus \log_a: \mathbb{R}_{+} \to \mathbb{R} , a \in \mathbb{R}_{+} \backslash \{1\} ist stetig
- die Betragsfunktion |\cdot|: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit x \mapsto |x| ist stetig
- die trigonometrischen Funktionen sind auf ihrem jeweiligen Definitionsbereich stetig.
Anschaulich bedeutet dies, dass eine im Intervall [a, b] stetige Funktion f in dem Intervall [a, b] jeden Wert zwischen f(a) und f(b) annehmen muss.
Beispiel
Den Zwischenwertsatz macht man sich bei der Suche nach Nullstellen einer Funktion zu Nutzen. Betrachten wir die Funktion g(x) = x + \cos(x), so können wir g(x) = 0 nicht ohne weiteres nach x auflösen. Aber wir wissen, dass g(-1) < 0 und g(0) = 1 ist. Da sowohl x als auch \cos(x) auf ganz \mathbb{R} stetig ist muss die Funktion aufgrund des Zwischenwertsatzes eine Nullstelle im Intervall [-1, 0] haben.
21.3 Differentialquotient und Ableitung
In diesem Kapitel wollen wir uns mit der Steigung von Funktionen beschäftigen. Dazu schauen wir uns zwei Punkte einer stetigen Funktion an P = (x, f(x)) und den Punkt Q = (x+\varepsilon, f(x + \varepsilon)). Die Steigung m der Geraden, die die Punkte P und Q verbinden, nennt man den Differentialquotient, der gegeben ist durch
m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \varepsilon) - f(x)}{\varepsilon}.
Bemerkungen
- Wir können die Differenzierbarkeit einer Funktion an einer Stelle x_0 auch so interpretieren, dass es an der Stelle eine eindeutige Tangente gibt. Im folgenden Video ist die Grenzwertbildung von der Sekante zur Tangente veranschaulicht.
- Man bezeichnet die Tangente in einem Punkt x_0 auch als lineare Approximierung der Funktion in x_0. Die Gleichung der Tangente in dem Punkt x_0 ist gegeben durch den Funktionsterm
T_{x_0}(x) = f'(x_0) (x-x_0) + f(x_0).
Damit können wir differenzierbare Funktionen auch so definieren, dass es genau die Funktionen sind, die in jedem Punkt ihrer Definitionsmenge eindeutig linear approximiert werden können.
Eine einfach Forlgerung ist, dass jede differenzierbare Funktion stetig sein muss. Die Umkehrung gilt allerdings nicht.
Beispiele für differenzierbare Funktionen
Alle Polynome, rationalen Funktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmen und trigonometrische Funktionen sind differenzierbar.
Summen, Produkte, Quotienten und Verkettungen von differenzierbaren Funktionen sind wieder differenzierbar.
Beispiele für nicht differenzierbare Funktionen
Die Betragsfunktion f(x) = |x| ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar, da der rechtsseitige Grenzwert der Steigung 1 ergibt, der linksseitige Grenzwert aber -1. Damit ist die Betragsfunktion keine differenzierbare Funktion.
Unstetige Funktionen sind nicht differenzierbar. Beispiele dafür sind die Heaviside-Funktion bzw. alle Treppenfunktionen.
21.4 Ableitung von Elementarfunktionen
Wir wissen nun, dass wir über den obigen Grenzwert die Ableitung von Funktionen bestimmen können. Wir wollen dies nun anhand von ein paar Beispielen mal konkret machen.
Beispiel 1
Wir bestimmen die Ableitung der Funktion f(x) = x^2 mit Hilfe des obigen Grenzwertes. Dazu rechnen wir nach:
\begin{aligned} f'(x) & = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{f(x + \varepsilon) - f(x)}{\varepsilon} \\ & = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{(x + \varepsilon)^2 - x^2}{\varepsilon} \\ & = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{x^2 + 2x \varepsilon + \varepsilon^2 - x^2}{\varepsilon} \\ & = \lim_{\varepsilon \to 0} \left( \frac{2x \varepsilon}{\varepsilon} + \frac{\varepsilon^2}{\varepsilon}\right) \\ & = 2x \end{aligned}
Beispiel 2
im zweiten Beispiel wollen wir die Regel verallgemeinern auf die Funktionenklasse g(x) = x^n mit n \in \mathbb{N}.
\begin{aligned} g'(x) & = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{f(x + \varepsilon) - f(x)}{\varepsilon} \\ & = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{(x + \varepsilon)^n - x^n}{\varepsilon} \\ & = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\sum\limits_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} \varepsilon^k - x^n}{\varepsilon} \\ & = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\varepsilon} \left(\binom{n}{0} x^n + \binom{n}{1} x^{n-1} \varepsilon + \binom{n}{2} x^{n-2} \varepsilon^2 + \cdots + \binom{n}{n} \varepsilon^n - x^n \right) \\ & = nx^{n-1} \end{aligned} In beiden Beispielen überleben nur jeweils die Terme, bei denen sich das \varepsilon im Zähler sich genau mit dem \epsilon im Nenner herauskürzt.
Beispiel 3
Als drittes Beispiel wollen wir versuchen die Ableitung der Exponentialfunktion \exp(x) = \mathrm{e}^x auf die gleiche Weise zu bestimmen.
\begin{aligned} \exp'(x) & = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\exp(x + \varepsilon) - \exp(x)}{\varepsilon} \\ & = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\mathrm{e}^{x + \varepsilon} - \mathrm{e}^{x}}{\varepsilon} \\ & = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{\varepsilon} - \mathrm{e}^{x}}{\varepsilon} \\ & = \lim_{\varepsilon \to 0} \mathrm{e}^{x} \cdot \frac{\mathrm{e}^{\varepsilon} - 1}{\varepsilon} \\ & = \mathrm{e}^{x} \cdot \underbrace{\lim_{\varepsilon \to 0}\left(\frac{\mathrm{e}^{\varepsilon} - 1}{\varepsilon}\right)}_{\to ?} \\ \end{aligned} An der Stelle haben wir nun einen Ausdruck bei dem sowohl der Zähler als auch der Nenner im Grenzwert \varepsilon \to 0 gegen 0 gehen. Ohne weitere Rechnung können wir nicht sagen welchen Wert dieser Grenzwert liefert. Zur Berechnen bedienen wir uns der Reihendarstellung der Exponentialfunktion:
\mathrm{e}^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}.
Wir schreiben daher
\begin{aligned} \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\mathrm{e}^\varepsilon - 1}{\varepsilon} & = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\varepsilon} \left(\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{\varepsilon^k}{k!} - 1 \right) \\ & = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\varepsilon} \left(1 + \frac{\varepsilon}{1!} + \frac{\varepsilon^2}{2!} + \frac{\varepsilon^3}{3!} + \cdots - 1 \right) \\ & = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\varepsilon}{\varepsilon} \left(\frac{1}{1!} + \frac{\varepsilon}{2!} + \frac{\varepsilon^2}{3!} \cdots \right) \\ & = 1. \end{aligned} Nutzen wir dies, so ergibt sich \exp'(x) = \mathrm{e}^x = \exp(x). Die Ableitung der Exponentialfunktion ist also wieder die Exponentialfunktion selbst.
Wir wollen das Kapitel damit beenden die Ableitungen der elementaren Funktionen anzugeben. Es ist nicht notwendig jede Ableitung herzuleiten, allerdings sind die folgenden Ableitungen wichtig und sollten gelernt werden!
| f(x) | f'(x) | |
|---|---|---|
| c \in \mathbb{R} | 0 | |
| x | 1 | |
| x^q | q \cdot x^{q-1} | q \in \mathbb{R} |
| \textrm{e}^x | \textrm{e}^x | |
| a^x | \ln(a)\cdot a^x | a \in \mathbb{R}_{\neq 1}^{+} |
| \ln(x) | \frac{1}{x} | |
| \log_a(x) | \frac{1}{\ln(a)\cdot x} | a \in \mathbb{R}_{\neq 1}^{+} |
| \sinh(x) | \cosh(x) | |
| \cosh(x) | \sinh(x) | |
| \sin(x) | \cos(x) | |
| \cos(x) | -\sin(x) |
21.4.1 Differentialoperator
Der Differentialoperator \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} ist eine Abbildung die einer differenzierbaren Funktion f ihre Ableitung f' zuordnet.
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} : f \mapsto \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = f'(x) Der Differentialoperator ist nicht nur eine Schreibweise für die Ableitung, sondern ein verallgemeinertes Konzept auf das wir nun nicht weiter eingehen werden. Allerdings hilft die Schreibweise die nun kommenden Ableitungsregeln elegant zu schreiben und auf einem anderen Niveau zu verstehen.
21.5 Ableitungsregeln
Meistens tauchen Funktionen nicht in der elementaren Form auf, wie sie oben in der Tabelle stehen. Daher sind ein paar weitere Regeln notwendig. Wir werden sowohl die Operatorschreibweise als auch die verkürzte Schreibweise für die Ableitung verwenden.
21.5.1 Linearität
Die Ableitung ist ein linearer Operator. Seien nun \alpha, \beta \in \mathbb{R} und f, g: D \mathbb{R} auf ihrem gemeinsamen Definitionsbereich D differenzierbare Funktionen, dann gilt:
\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (\alpha f(x) + \beta g(x)) & = \alpha \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x) + \beta \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} g(x) \end{aligned}
\left[\alpha f(x) + \beta g(x)\right]' = \alpha f'(x) + \beta g'(x)
In vielen Lehrbüchern werden aus der Linearität auch zwei Regeln gemacht:
- die Summenregel: [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) und
- die Faktorregel: [\alpha f(x)]' = \alpha f'(x).
Beispiel
Die Ableitung der Funktion f(x) = 3x^4 + 2x^2 +7 ist f'(x) = 3 \cdot 4x^3 + 2 \cdot 2x = 12x^3 +4x.
21.5.2 Produktregel
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (f(x) \cdot g(x) ) = \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x) \right) \cdot g(x) + f(x) \cdot \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} g(x) \right)
\left[f(x) \cdot g(x) \right]' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
Beispiele
21.5.3 Kettenregel
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (f \circ g)(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}f\bigg|_{u = g(x)} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(x)
\left[f(g(x)) \right]' = [(f\circ g)(x)]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
Beispiele
Übungen
Welchen Wert nimmt die Ableitung von f(x) = x^{6} \textsf{e}^{3.9 x} an der Stelle x = 0.65 an?
Man benutzt die Produktregel für f(x) = g(x) \cdot h(x), wobei g(x) := x^{6} und h(x) := \textsf{e]^{3.9 x} ist, und erhält
\begin{aligned} f'(x) &= [g(x) \cdot h(x)]' = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \\ &= 6 x^{6 - 1} \cdot \textsf{e]^{3.9 x} + x^{6} \cdot \textsf{e]^{3.9 x} \cdot 3.9 \\ &= \textsf{e]^{3.9 x} \cdot(6 x^5 + 3.9 x^{6}) \\ &= \textsf{e]^{3.9 x} \cdot x^5 \cdot (6 + 3.9 x). \end{aligned}
Wertet man diesen Ausdruck an der Stelle x = 0.65 aus, so erhält man die Antwort \textsf{e]^{3.9 \cdot 0.65} \cdot 0.65^5 \cdot (6 + 3.9 \cdot 0.65) = 12.494153. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich f'(0.65) = 12.49.
- Falsch.
- Wahr.
- Falsch.
- Falsch.
- Falsch.
Welchen Wert nimmt die Ableitung von f(x) = x^{4} \textsf{e}^{2.5 x} an der Stelle x = 0.64 an?
Man benutzt die Produktregel für f(x) = g(x) \cdot h(x), wobei g(x) := x^{4} und h(x) := \textsf{e]^{2.5 x} ist, und erhält
\begin{aligned} f'(x) &= [g(x) \cdot h(x)]' = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \\ &= 4 x^{4 - 1} \cdot \textsf{e]^{2.5 x} + x^{4} \cdot \textsf{e]^{2.5 x} \cdot 2.5 \\ &= \textsf{e]^{2.5 x} \cdot(4 x^3 + 2.5 x^{4}) \\ &= \textsf{e]^{2.5 x} \cdot x^3 \cdot (4 + 2.5 x). \end{aligned}
Wertet man diesen Ausdruck an der Stelle x = 0.64 aus, so erhält man die Antwort \textsf{e]^{2.5 \cdot 0.64} \cdot 0.64^3 \cdot (4 + 2.5 \cdot 0.64) = 7.271083. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich f'(0.64) = 7.27.
- Falsch.
- Wahr.
- Falsch.
- Falsch.
- Falsch.
Welchen Wert nimmt die Ableitung von f(x) = x^{4} \textsf{e}^{2.3 x} an der Stelle x = 0.7 an?
Man benutzt die Produktregel für f(x) = g(x) \cdot h(x), wobei g(x) := x^{4} und h(x) := \textsf{e]^{2.3 x} ist, und erhält
\begin{aligned} f'(x) &= [g(x) \cdot h(x)]' = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \\ &= 4 x^{4 - 1} \cdot \textsf{e]^{2.3 x} + x^{4} \cdot \textsf{e]^{2.3 x} \cdot 2.3 \\ &= \textsf{e]^{2.3 x} \cdot(4 x^3 + 2.3 x^{4}) \\ &= \textsf{e]^{2.3 x} \cdot x^3 \cdot (4 + 2.3 x). \end{aligned}
Wertet man diesen Ausdruck an der Stelle x = 0.7 aus, so erhält man die Antwort \textsf{e]^{2.3 \cdot 0.7} \cdot 0.7^3 \cdot (4 + 2.3 \cdot 0.7) = 9.626559. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich f'(0.7) = 9.63.
- Falsch.
- Falsch.
- Falsch.
- Falsch.
- Wahr.
Welchen Wert nimmt die Ableitung von f(x) = x^{2} \textsf{e}^{3.2 x} an der Stelle x = 0.62 an?
Man benutzt die Produktregel für f(x) = g(x) \cdot h(x), wobei g(x) := x^{2} und h(x) := \textsf{e]^{3.2 x} ist, und erhält
\begin{aligned} f'(x) &= [g(x) \cdot h(x)]' = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \\ &= 2 x^{2 - 1} \cdot \textsf{e]^{3.2 x} + x^{2} \cdot \textsf{e]^{3.2 x} \cdot 3.2 \\ &= \textsf{e]^{3.2 x} \cdot(2 x^1 + 3.2 x^{2}) \\ &= \textsf{e]^{3.2 x} \cdot x^1 \cdot (2 + 3.2 x). \end{aligned}
Wertet man diesen Ausdruck an der Stelle x = 0.62 aus, so erhält man die Antwort \textsf{e]^{3.2 \cdot 0.62} \cdot 0.62^1 \cdot (2 + 3.2 \cdot 0.62) = 17.961859. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich f'(0.62) = 17.96.
- Falsch.
- Wahr.
- Falsch.
- Falsch.
- Falsch.
Welchen Wert nimmt die Ableitung von f(x) = x^{7} \textsf{e}^{3.3 x} an der Stelle x = 0.79 an?
Man benutzt die Produktregel für f(x) = g(x) \cdot h(x), wobei g(x) := x^{7} und h(x) := \textsf{e]^{3.3 x} ist, und erhält
\begin{aligned} f'(x) &= [g(x) \cdot h(x)]' = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \\ &= 7 x^{7 - 1} \cdot \textsf{e]^{3.3 x} + x^{7} \cdot \textsf{e]^{3.3 x} \cdot 3.3 \\ &= \textsf{e]^{3.3 x} \cdot(7 x^6 + 3.3 x^{7}) \\ &= \textsf{e]^{3.3 x} \cdot x^6 \cdot (7 + 3.3 x). \end{aligned}
Wertet man diesen Ausdruck an der Stelle x = 0.79 aus, so erhält man die Antwort \textsf{e]^{3.3 \cdot 0.79} \cdot 0.79^6 \cdot (7 + 3.3 \cdot 0.79) = 31.663291. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich f'(0.79) = 31.66.
- Falsch.
- Falsch.
- Wahr.
- Falsch.
- Falsch.
Welchen Wert nimmt die Ableitung von f(x) = x^{3} \textsf{e}^{2.5 x} an der Stelle x = 0.7 an?
Man benutzt die Produktregel für f(x) = g(x) \cdot h(x), wobei g(x) := x^{3} und h(x) := \textsf{e]^{2.5 x} ist, und erhält
\begin{aligned} f'(x) &= [g(x) \cdot h(x)]' = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \\ &= 3 x^{3 - 1} \cdot \textsf{e]^{2.5 x} + x^{3} \cdot \textsf{e]^{2.5 x} \cdot 2.5 \\ &= \textsf{e]^{2.5 x} \cdot(3 x^2 + 2.5 x^{3}) \\ &= \textsf{e]^{2.5 x} \cdot x^2 \cdot (3 + 2.5 x). \end{aligned}
Wertet man diesen Ausdruck an der Stelle x = 0.7 aus, so erhält man die Antwort \textsf{e]^{2.5 \cdot 0.7} \cdot 0.7^2 \cdot (3 + 2.5 \cdot 0.7) = 13.393838. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich f'(0.7) = 13.39.
- Falsch.
- Falsch.
- Falsch.
- Wahr.
- Falsch.
Welchen Wert nimmt die Ableitung von f(x) = x^{5} \textsf{e}^{3.6 x} an der Stelle x = 0.64 an?
Man benutzt die Produktregel für f(x) = g(x) \cdot h(x), wobei g(x) := x^{5} und h(x) := \textsf{e]^{3.6 x} ist, und erhält
\begin{aligned} f'(x) &= [g(x) \cdot h(x)]' = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \\ &= 5 x^{5 - 1} \cdot \textsf{e]^{3.6 x} + x^{5} \cdot \textsf{e]^{3.6 x} \cdot 3.6 \\ &= \textsf{e]^{3.6 x} \cdot(5 x^4 + 3.6 x^{5}) \\ &= \textsf{e]^{3.6 x} \cdot x^4 \cdot (5 + 3.6 x). \end{aligned}
Wertet man diesen Ausdruck an der Stelle x = 0.64 aus, so erhält man die Antwort \textsf{e]^{3.6 \cdot 0.64} \cdot 0.64^4 \cdot (5 + 3.6 \cdot 0.64) = 12.271429. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich f'(0.64) = 12.27.
- Falsch.
- Falsch.
- Falsch.
- Wahr.
- Falsch.
Welchen Wert nimmt die Ableitung von f(x) = x^{9} \textsf{e}^{3.5 x} an der Stelle x = 0.62 an?
Man benutzt die Produktregel für f(x) = g(x) \cdot h(x), wobei g(x) := x^{9} und h(x) := \textsf{e]^{3.5 x} ist, und erhält
\begin{aligned} f'(x) &= [g(x) \cdot h(x)]' = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \\ &= 9 x^{9 - 1} \cdot \textsf{e]^{3.5 x} + x^{9} \cdot \textsf{e]^{3.5 x} \cdot 3.5 \\ &= \textsf{e]^{3.5 x} \cdot(9 x^8 + 3.5 x^{9}) \\ &= \textsf{e]^{3.5 x} \cdot x^8 \cdot (9 + 3.5 x). \end{aligned}
Wertet man diesen Ausdruck an der Stelle x = 0.62 aus, so erhält man die Antwort \textsf{e]^{3.5 \cdot 0.62} \cdot 0.62^8 \cdot (9 + 3.5 \cdot 0.62) = 2.136022. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich f'(0.62) = 2.14.
- Wahr.
- Falsch.
- Falsch.
- Falsch.
- Falsch.
Welchen Wert nimmt die Ableitung von f(x) = x^{2} \textsf{e}^{3.7 x} an der Stelle x = 0.75 an?
Man benutzt die Produktregel für f(x) = g(x) \cdot h(x), wobei g(x) := x^{2} und h(x) := \textsf{e]^{3.7 x} ist, und erhält
\begin{aligned} f'(x) &= [g(x) \cdot h(x)]' = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \\ &= 2 x^{2 - 1} \cdot \textsf{e]^{3.7 x} + x^{2} \cdot \textsf{e]^{3.7 x} \cdot 3.7 \\ &= \textsf{e]^{3.7 x} \cdot(2 x^1 + 3.7 x^{2}) \\ &= \textsf{e]^{3.7 x} \cdot x^1 \cdot (2 + 3.7 x). \end{aligned}
Wertet man diesen Ausdruck an der Stelle x = 0.75 aus, so erhält man die Antwort \textsf{e]^{3.7 \cdot 0.75} \cdot 0.75^1 \cdot (2 + 3.7 \cdot 0.75) = 57.438333. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich f'(0.75) = 57.44.
- Falsch.
- Falsch.
- Falsch.
- Falsch.
- Wahr.
Welchen Wert nimmt die Ableitung von f(x) = x^{3} \textsf{e}^{3.5 x} an der Stelle x = 0.7 an?
Man benutzt die Produktregel für f(x) = g(x) \cdot h(x), wobei g(x) := x^{3} und h(x) := \textsf{e]^{3.5 x} ist, und erhält
\begin{aligned} f'(x) &= [g(x) \cdot h(x)]' = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \\ &= 3 x^{3 - 1} \cdot \textsf{e]^{3.5 x} + x^{3} \cdot \textsf{e]^{3.5 x} \cdot 3.5 \\ &= \textsf{e]^{3.5 x} \cdot(3 x^2 + 3.5 x^{3}) \\ &= \textsf{e]^{3.5 x} \cdot x^2 \cdot (3 + 3.5 x). \end{aligned}
Wertet man diesen Ausdruck an der Stelle x = 0.7 aus, so erhält man die Antwort \textsf{e]^{3.5 \cdot 0.7} \cdot 0.7^2 \cdot (3 + 3.5 \cdot 0.7) = 30.94668. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich f'(0.7) = 30.95.
- Falsch.
- Wahr.
- Falsch.
- Falsch.
- Falsch.
Welchen Wert nimmt die Ableitung von f(x) = x^{8} \textsf{e}^{3 x} an der Stelle x = 0.76 an?
Man benutzt die Produktregel für f(x) = g(x) \cdot h(x), wobei g(x) := x^{8} und h(x) := \textsf{e]^{3 x} ist, und erhält
\begin{aligned} f'(x) &= [g(x) \cdot h(x)]' = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \\ &= 8 x^{8 - 1} \cdot \textsf{e]^{3 x} + x^{8} \cdot \textsf{e]^{3 x} \cdot 3 \\ &= \textsf{e]^{3 x} \cdot(8 x^7 + 3 x^{8}) \\ &= \textsf{e]^{3 x} \cdot x^7 \cdot (8 + 3 x). \end{aligned}
Wertet man diesen Ausdruck an der Stelle x = 0.76 aus, so erhält man die Antwort \textsf{e]^{3 \cdot 0.76} \cdot 0.76^7 \cdot (8 + 3 \cdot 0.76) = 14.719047. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich f'(0.76) = 14.72.
- Falsch.
- Falsch.
- Wahr.
- Falsch.
- Falsch.
Welchen Wert nimmt die Ableitung von f(x) = x^{5} \textsf{e}^{3.9 x} an der Stelle x = 0.9 an?
Man benutzt die Produktregel für f(x) = g(x) \cdot h(x), wobei g(x) := x^{5} und h(x) := \textsf{e]^{3.9 x} ist, und erhält
\begin{aligned} f'(x) &= [g(x) \cdot h(x)]' = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \\ &= 5 x^{5 - 1} \cdot \textsf{e]^{3.9 x} + x^{5} \cdot \textsf{e]^{3.9 x} \cdot 3.9 \\ &= \textsf{e]^{3.9 x} \cdot(5 x^4 + 3.9 x^{5}) \\ &= \textsf{e]^{3.9 x} \cdot x^4 \cdot (5 + 3.9 x). \end{aligned}
Wertet man diesen Ausdruck an der Stelle x = 0.9 aus, so erhält man die Antwort \textsf{e]^{3.9 \cdot 0.9} \cdot 0.9^4 \cdot (5 + 3.9 \cdot 0.9) = 186.755426. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich f'(0.9) = 186.76.
- Wahr.
- Falsch.
- Falsch.
- Falsch.
- Falsch.
Welchen Wert nimmt die Ableitung von f(x) = x^{3} \textsf{e}^{3.9 x} an der Stelle x = 0.89 an?
Man benutzt die Produktregel für f(x) = g(x) \cdot h(x), wobei g(x) := x^{3} und h(x) := \textsf{e]^{3.9 x} ist, und erhält
\begin{aligned} f'(x) &= [g(x) \cdot h(x)]' = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \\ &= 3 x^{3 - 1} \cdot \textsf{e]^{3.9 x} + x^{3} \cdot \textsf{e]^{3.9 x} \cdot 3.9 \\ &= \textsf{e]^{3.9 x} \cdot(3 x^2 + 3.9 x^{3}) \\ &= \textsf{e]^{3.9 x} \cdot x^2 \cdot (3 + 3.9 x). \end{aligned}
Wertet man diesen Ausdruck an der Stelle x = 0.89 aus, so erhält man die Antwort \textsf{e]^{3.9 \cdot 0.89} \cdot 0.89^2 \cdot (3 + 3.9 \cdot 0.89) = 164.887434. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich f'(0.89) = 164.89.
- Falsch.
- Falsch.
- Wahr.
- Falsch.
- Falsch.
Welchen Wert nimmt die Ableitung von f(x) = x^{7} \textsf{e}^{3.9 x} an der Stelle x = 0.62 an?
Man benutzt die Produktregel für f(x) = g(x) \cdot h(x), wobei g(x) := x^{7} und h(x) := \textsf{e]^{3.9 x} ist, und erhält
\begin{aligned} f'(x) &= [g(x) \cdot h(x)]' = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \\ &= 7 x^{7 - 1} \cdot \textsf{e]^{3.9 x} + x^{7} \cdot \textsf{e]^{3.9 x} \cdot 3.9 \\ &= \textsf{e]^{3.9 x} \cdot(7 x^6 + 3.9 x^{7}) \\ &= \textsf{e]^{3.9 x} \cdot x^6 \cdot (7 + 3.9 x). \end{aligned}
Wertet man diesen Ausdruck an der Stelle x = 0.62 aus, so erhält man die Antwort \textsf{e]^{3.9 \cdot 0.62} \cdot 0.62^6 \cdot (7 + 3.9 \cdot 0.62) = 6.003892. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich f'(0.62) = 6.00.
- Falsch.
- Falsch.
- Falsch.
- Falsch.
- Wahr.
Welchen Wert nimmt die Ableitung von f(x) = x^{6} \textsf{e}^{2.5 x} an der Stelle x = 0.81 an?
Man benutzt die Produktregel für f(x) = g(x) \cdot h(x), wobei g(x) := x^{6} und h(x) := \textsf{e]^{2.5 x} ist, und erhält
\begin{aligned} f'(x) &= [g(x) \cdot h(x)]' = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \\ &= 6 x^{6 - 1} \cdot \textsf{e]^{2.5 x} + x^{6} \cdot \textsf{e]^{2.5 x} \cdot 2.5 \\ &= \textsf{e]^{2.5 x} \cdot(6 x^5 + 2.5 x^{6}) \\ &= \textsf{e]^{2.5 x} \cdot x^5 \cdot (6 + 2.5 x). \end{aligned}
Wertet man diesen Ausdruck an der Stelle x = 0.81 aus, so erhält man die Antwort \textsf{e]^{2.5 \cdot 0.81} \cdot 0.81^5 \cdot (6 + 2.5 \cdot 0.81) = 21.199053. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich f'(0.81) = 21.20.
- Falsch.
- Falsch.
- Falsch.
- Wahr.
- Falsch.
21.6 Höhere Ableitungen
Sind differenzierte Funktion f: D \to \mathbb{R} wiederum differenzierbar, so können wir höhere Ableitungen definieren. Dafür existiern diverse Schreibweisen
f''(x) = \frac{\mathrm{d}^2 f(x)}{\mathrm{dx^2}} := [f'(x)]' = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left( \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{dx}}\right)
Analog definieren wir die dritte Ableitung f''' , die vierte Ableitung f^{(4)}, etc. Ableitung. Ab der vierten Ableitung werden in der Regel arabische Ziffern in runden Klammen oben an die Funktion geschrieben statt der Striche.
21.7 Anwendungen
21.7.1 Extremwertaufgaben
Wir wollen im Folgenden von Funktionen ausgehen, die mindestens der Differentiationsklasse C^2 angehören. Mit Hilfe der Differentialrechnung können wir lokale Maxima und lokale Minima identifizieren, da an den Extremstellen die Ableitung verschwindet, also den Wert 0 annimmt. Stellen an denen die Ableitung einer Funktion den Wert 0 annimmt, nennen wir kritische Stellen.
Wie wir in Abbildung 21.7 und Abbildung 21.8 sehen ist das Verschwinden der Ableitung eine notwendige Bedingung allerdings ist diese nicht hinreichend. Um zu untersuchen, ob es sich bei den kritischen Stellen einer Funktion um ein Extremum handelt oder nicht gibt es mehrere Möglichkeiten:
Untersuchen der Ableitung auf Vorzeichenwechsel: Hat die Ableitung der Funktion f an einer kritischen Stelle x_0 ein Vorzeichenwechseln, so handelt es sich um ein Extremum. Ist der Vorzeichenwechsel von + nach -, so handelt es sich um ein lokales Maximum; hat die Ableitung ein Vorzeichenwechsel von - nach +, so handelt es sich um ein Minimum.
Untersuchen der zweiten Ableitung. Setzen wir die kritische Stelle x_0 in die zweite Ableitung ein, so hat die Funktion f an der Stelle x_0 ein Maximum, falls f''(x_0) < 0 ist und ein Minimum, falls f''(x_0) > 0.
Beispiel 1:
Gesucht sind die Maximal- und die Minimalstelle der Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit
f(x) = \frac{1}{3} x^3 + x^2 -3x + 2.
Lösung
Wir leiten die Funktion ab und suchen die Nullstellen der Ableitung. Das sind die Stellen bei denen die Funktion eine Extremstelle haben kann (notwengige Bedingung).
f'(x) = x^2 + 2x -3 = (x-1)(x+3)
Damit sind x = 1 und x = -3 Kandidaten für die Extrema. Nun müssen wir entweder mittels einer Vorzeichentabelle oder der 2. Ableitung jeweils prüfen, ob es sich bei den Kandidaten um ein Maximum, ein Minimum oder eine horizontale Wendestelle handelt.
Wir werden beide Methoden zeigen:
2. Ableitung
f''(x) = 2x + 2 Setzen wir die beiden Nullstellen der Ableitung ein, so ergibt sich
- f''(1) = 4 > 0, womit an der Stelle x = 1 ein lokales Minimum ist und
- f''(-3) = -4 < 0, was bedeutet, dass an der Stelle x = -3 ein lokales Maximum ist.
Vorzeichenwechseltabelle
| x< -3 | -3<x<1 | 1<x | |
|---|---|---|---|
| x-1 | - | - | + |
| x+3 | - | + | + |
| + | - | + |
Es gibt also einen Vorzeichenwechsel von + nach - an der Stelle x = -3, was bedeutet, dass es an der Stelle ein lokales Maximum ist, sowie einen Vorzeichenwechsel von - nach + an der Stelle x = 1, was bedeutet, dass es an der Stelle ein lokales Minimum ist.
Beispiel 2
Betrachten wir die Funktion h(x) = x^4. Die Funktion hat bei x = 0 ein Minimum. Die Ableitung von h ist h'(x) = 4x^3 und die zweite Ableitung h''(x) = 12x^2. Offenbar gilt für die kritische Stelle x_0 = 0 dass f''(0) = 0 ist. Beim Verschwinden der zweiten Ableitung muss die Funktion weiter untersucht werden, da sowohl ein Extremum als auch ein Sattelpunkt (hozizontale Wendestelle) vorliegen kann. In disem Fall sehen wir, dass h' bei x =0 einen Vorzeichenwechsel hat, so dass es sich um ein Minimum handelt.
Beispiel 3
In einer Fabrik soll aus einem quadratischen Karton mit der Seitenlänge a eine offene Schachtel mit quadratischem Boden hergestellt werden. Dazu werden an jeder Ecke Quadrate der Länge x heruasgeschnitten. Die vier entstehenden Rechtecke werden um 90 Grad hochgeklappt, so dass eine Schachte der Höhe x mit quadratischem Grundriss entsteht. Wie groß muss x sein, um das Volumen der Schachtel zu maximieren?
Das bezüglich x zu maximierende Volumen der Schachtel ist
V(x) = \underbrace{(a-2x)^2}_{\text{Grundseite}} \cdot \underbrace{x}_{\text{Höhe}} = 4x^3 -4ax^2 +a^2 x Bevor wir uns die Lösung ansehen ist zu bemerken, dass nur x \in [0, \frac{1}{2}a] sinnvoll ist, da nicht negatives weggeschnitten werden kann, aber auch nicht mehr als die komplette Schachtel. Für die notwendige Bedingung erhalten wir
0 \stackrel{!}{=} V'(x) = 12x^2 - 8ax +a^2 Lösen wir die quadratische Gleichung ergeben sich die beiden Lösungen x_1 = \frac{1}{6}a und x_2 = \frac{1}{2}a. Es ist an der Stelle schon offensichtlich, dass es sich bei x_2 nicht um ein Minimum handelt, da die komplette Schachtel weggeschnitten ist. REchen wir zur Kontrolle die 2. Ableitung V''(x) = 24x -8a. Setzen wir beide Lösungen ein ergibt sich
- V''(\frac{1}{2}a) = 4a > 0 woraus folgt, dass es ein lokales Minimum ist und
- V''(\frac{1}{6}a) = -4a < 0 was auf ein lokales Maximum schließen lässt.
Beispiel 4
21.7.2 Wendestellen
Komplett analog zu den Extremwerten läuft die Untersuchung auf Wendestellen einer Funktion. Die notwendige Bedingung ist, dass die zweite Ableitung verschwindet.
21.7.3 Mittelwertsatz
Beispiel 1
|\sin(b) - \sin(a)| \le |b - a|
Beispiel 2
Legt man eine Strecke von A nach B mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit \overline{v} zurück, so muss man zu mindestens einem Zeitpunkt diese Durchschnittsgeschwindigkjeit gehabt haben.
21.7.4 Regel von de L’Hospital
Die Regel von de L’Hospital kann genutzt werden um Grenzwerte der Form ,,0 \cdot \infty’’ oder \frac{0}{0} oder \frac{\infty}{\infty} auszuwerten. Beispiele wären die Grenzwerte
\lim_{x \to \infty} x \cdot \mathrm{e}^{-x} \quad \text{oder} \quad \lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x} \quad \text{oder} \quad \lim_{x \to 0}
Beispiel 1: (\frac{0}{0})
Beispiel 2: (0 \cdot \infty)
\lim_{x\to 0} x \cdot \ln(x)