Zusammengesetzte Quadrate
Während meiner Schulzeit habe ich einmal am Bundeswettbewerb Mathematik teilgenommen, und in einer der ersten Runden gab es eine schöne Aufgabe, die mir in Erinnerung geblieben ist:
Die Zahl \(1681=41^2\) ist eine Quadratzahl, die aus zwei Quadratzahlen \(16 = 4^2\) und \(81 = 9^2\) zusammengesetzt ist. Zeige, dass es unendlich viele solcher aus zwei gleich langen Quadratzahlen zusammengesetzten Quadratzahlen gibt.
Dabei soll keine der Quadratzahlen mit einer \(0\) beginnen, also \(256036 = 506^2\) ist nicht erlaubt.
Der Trick die Aufgabe zu lösen bestand darin ein Muster zu erkennen. Schauen wir uns die ersten der Zahlen mal an:
| \(Z\) | \(\sqrt{Z}\) | \(W_1\) | \(W_2\) |
|---|---|---|---|
| 49 | 7 | 2 | 3 |
| 1681 | 41 | 4 | 9 |
| 144400 | 380 | 12 | 20 |
| 225625 | 475 | 15 | 25 |
| 324900 | 570 | 18 | 30 |
| 24019801 | 4901 | 49 | 99 |
| 1587624025 | 39845 | 126 | 155 |
| 2371690000 | 48700 | 154 | 300 |
| 2528178961 | 50281 | 159 | 281 |
| 3132976729 | 55973 | 177 | 277 |
| 5198410000 | 72100 | 228 | 100 |
| 6350496100 | 79690 | 252 | 310 |
| 8122515625 | 90125 | 285 | 125 |
| 249001998001 | 499001 | 499 | 999 |
| 10547295475600 | 3247660 | 1027 | 2340 |
| 12232366350400 | 3497480 | 1106 | 2520 |
| 14042257290000 | 3747300 | 1185 | 2700 |
| 15976968294400 | 3997120 | 1264 | 2880 |
| 18036499363600 | 4246940 | 1343 | 3060 |
| 23073612250000 | 4803500 | 1519 | 1500 |
| 25027247420176 | 5002724 | 1582 | 2724 |
| 36633966760000 | 6052600 | 1914 | 2600 |
| 48092491265625 | 6934875 | 2193 | 1125 |
| 58660847767369 | 7659037 | 2422 | 2787 |
| 61009002802276 | 7810826 | 2470 | 1674 |
| 81054099030025 | 9003005 | 2847 | 3005 |
| 85497762250000 | 9246500 | 2924 | 1500 |
| 92294449000000 | 9607000 | 3038 | 3000 |
| 1466124176580001 | 38290001 | 3829 | 8751 |
| 2499000199980001 | 49990001 | 4999 | 9999 |
| … | … | … | … |
Die meisten der Paare sehen recht wild und relativ strukturlos aus. Aber es gibt ein relativ leicht zu erkennenden Muster, nämlcih die Quadratzahlen, die aus den Paaren der Form \((5 \cdot 10^{n} - 1)^2\) (also \(4^2\), \(49^2\), \(499^2\), etc.) und \((10^{n+1} - 1)^2\) (das sind \(9^2\), \(99^2\), \(999^2\), etc.) zusammengesetzt sind.
\[\begin{align*} \underbrace{(5 \cdot 10^{n} - 1)^2}_{\text{vordere Quadratzahl}} \cdot \underbrace{10^{2n+2}}_{\text{Versatz}} + \underbrace{(10^{n+1} - 1)^2}_{\text{hintere Quadratzahl}} & = (5 \cdot 10^{n} - 1)^2 \cdot 10^{2(n+1)} + 10^{2n+2} - 2 \cdot 10^{n+1} +1 \\ & = (5 \cdot 10^{n} - 1)^2 \cdot 10^{2(n+1)} + 10 \cdot 10^{n} \cdot 10^{n+1} - 2 \cdot 10^{n+1} +1 \\ & = (5 \cdot 10^{n} - 1)^2 \cdot 10^{2(n+1)} - 2 \cdot (5 \cdot 10^{n} - 1) \cdot 10^{n+1} + 1 \\ & = ((5 \cdot 10^{n} -1)\cdot 10^{n+1} + 1)^2 \end{align*}\]
Man kann nun noch überlegen, ob die Länge der Zahlen stimmt.
- Es gilt
\[\begin{align*} 10^{2n+1} < (5 \cdot 10^{n} - 1)^2 = 0.25\cdot 10^{2n+2} - 10^{n+1} +1 < 10^{2n+2} \end{align*}\]
- und analog
\[\begin{align*} 10^{2n+1} < (10^{n+1} - 1)^2 = 10^{2n+2} - 2\cdot 10^{n+1} +1 < 10^{2n+2}. \end{align*}\]
Damit haben beide Zahlen die Länge \(2n+2\). Da die vordere Quadratzahl mit \(10^{2n+2}\) multipliziert wird ist die entstehende Quadratzahl von der Länge \(4n+4 = 4(n+1)\).
Interessant wäre zu wissen, ob es noch andere mehr oder minder einfach zu konstruierbare Zahlen dieser Art gibt. Gerne eine E-Mail an mich, wenn jemand eine Idee hat :-). Eine vollständigere Liste der Zahlen findet man hier, bzw. sind diese von dieser Seite aus verlink: https://oeis.org/A145848.